Реферат: Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду

Выполнил: ученик 11 Б класса Назаркин Павел Дмитриевич

Муниципальное общеобразовательное учреждение  «Лицей №43»

Саранск, 2004

Постановка задачи.

Произвести необходимые расчеты для нахождения минимальной скорости тела, брошенного через прямоугольное препятствие.

Методы выполнения работы.

Для выполнения данной работы проделаем ряд математических вычислений и преобразований с использованием физических формул.

Зная, что траекторией движения тела, является парабола, а также математическую формулу записи данной линии, будем использовать уравнение параболы общего вида в качестве начальных данных поставленной задачи. В выбранной нами прямоугольной системе координат запишем данное уравнение для двух точек, принадлежащих линии движения – начальной точке А и точке В, в которой тело окажется через некоторый промежуток времени t. Решая систему полученных при этом уравнений, путем математических замен и преобразований выведем формулу зависимости движения тела от одной переменной L, т.е. коэффициенты k и b, участвующие в общем виде уравнения параболы, выразим через L. Затем, используя физический закон движения тела, брошенного под углом к горизонту, выразим переменную L через Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду и V . В результате получим уравнение движения, в качестве коэффициентов в котором будут выступать переменные Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду и V. Затем составим систему двух уравнений, полученных подстановкой координат точек А и В в последнее уравнение движения. Решая данную систему, мы найдем неизвестные нам величины Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду и V, выразив их через имеющиеся известные нам параметры – ширину и высоту прямоугольного препятствия. Для нахождения Vmin воспользуемся производной функции.

Решение.

Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду

Уравнением линии движения тела, брошенного через прямоугольное препятствие, в общем виде является уравнение параболы :

y=-kx2+b

Введем прямоугольную систему координат и свяжем ее с прямоугольным препятствием, как показано на рисунке.

В данной системе координат уравнение движения тела в точках А и Б примет вид:

Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду 0=-k(a+L)2+b,

h=-ka2+b.

Выразим k и b через одну неизвестную L:

Вычитаем 1)-ое из 2)-ого:

h=k(a2+2aL+L2-a2),

h=k(2aL+L2) ,Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду (*);

Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преградуНахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преградуh=b-ka2+b b=h+ka2 Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду. (*)

Получилось, что уравнение движения зависит только от L:

y=-kx2+b, где коэффициенты k и b имеют вид (*).

Найдем зависимость L отНахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преградуи V.

Из курса физики известно: что движение тела, брошенного под углом горизонта описывается уравнениями

Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преградуНахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преградуНахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду x=Vxt L=Vxt L=VcosНахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преградуt

Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преградуНахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду y=Vyt+gt2/2 h=Vyt-gy t2/2 gt2-2Vyt+2h=0.

gt2-2Vyt+2h=0.

Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду.

Мы рассматриваем время движения от точки А до Б, значит

Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду, где Vy=VsinНахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду.

Итак, Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду 

Умножив обе части уравнения на g, получим:

Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду (1)

Известно, что Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду т.е. Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду

Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду (2)

С другой стороны tgНахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду=y’ в точке А, т.е. tgНахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду=y’(-a-L);

Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду

Подставив значение tgНахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду в (2), получим:

V2sin2Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду=g(a+L) tg Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду

Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преградуНахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преградуV2sinНахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преградуcosНахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду=g(a+L) Lg=V2sinНахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преградуcosНахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду-ga (3)

Сравнив (1) и (3) получаем, что:

Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду

Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду.

Получили уравнение с двумя неизвестными V иНахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду: выразив V через Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду, мы получим ту самую функцию, которую мы должны были найти:

Пусть z=V2, тогда z cos2Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду(z sin2Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду-2gh)=g2a2;

z2 cos2Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду sin2Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду- z cos2Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду2gh-g2a2=0;

Получили квадратное уравнение относительно z

Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду

Очевидно, Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду значит, т.к. z=V2>0, то Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преградуНахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду.

Вместо зависимости V от Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преградурассмотрим зависимость z от Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду, и обозначив Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду получим зависимость z от t.

Получим Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду, где z=V2, Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду.

Выразим Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду через t, если Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду; Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду

Значит, Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду

Т.е. Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду 

Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду

Таким образом, чтобы найти Vmin и Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду, нам нужно во-первых, найти fmin и t.

Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду.

Умножив обе части уравнения на Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду, получим

Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду

Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду

Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду

Прежде чем возвести обе части в квадрат, сделаем предварительный анализ получившегося уравнения: т.к. Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду

то и Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду

т.е. Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду и Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду

Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду

Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду

Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду

Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду

Умножив обе части уравнения на (t-1)2, получим

Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду

Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду

Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду Т.к t<2 и t>1 (т.к. Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду), то можно извлечь корень.

Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду

Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду 

Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду

Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду

Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду; (4)

Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду

Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду

Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преградуИтак, f(t)=2h+2a, значит Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду.

Т.к. z=V2, то Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду т.е. Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду (5)

Осталось найти L:

Его найдем используя (3).

Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду

Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду

Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преградуНахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду

Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду

Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преградуНахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду

Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду

Результаты работы.

Проделанным расчетом мы нашли зависимость скорости, движения брошенного через прямоугольное препятствие тела, так чтобы она была минимальной, от длины и высоты прямоугольного препятствия. То есть, зная данные препятствия, - его длину и ширину – а так же формулы, полученные в данной работе, мы можем определить на каком расстоянии от препятствия, под каким углом и с какой минимальной скоростью необходимо бросить тело, чтобы оно перелетело через это препятствие.

Актуальность темы.

Данные расчеты и выведенные формулы используются в различных сферах деятельности человека. В частности, в военной практике, для правильного расчета движения траектории снарядов.

Приложение.

К работе прилагается программа, результатом которой является вывод на экран траектории движения тела, брошенного через прямоугольное препятствие. Входными параметрами программы являются данные прямоугольного препятствия – его длина и высота. Программа написана на языке программирования Delphi.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://licey43.ru


©2007—2016 Пуск!by | По вопросам сотрудничества обращайтесь в contextus@mail.ru